Lorsque j’ai débuté en maternelle, j’ai paniqué. Il existe une multitude d’activités à proposer mais comment choisir ? Comment savoir celles qui permettent de développer de réels apprentissages ? Comment s’y retrouver pour accompagner au mieux les élèves ?

Ce sont les travaux de Rémi Brissiaud, de Stella Baruk ou encore de Jean Piaget, à travers les écrits d’Annie Chalon-Blanc, qui m’ont permis d’y voir plus clair. En effet, je suis aujourd’hui convaincue que la maîtrise didactique des concepts enseignés permet des choix pédagogiques éclairés et donc plus pertinents.

Cet article a donc pour but de définir le concept de nombre et d’en dégager les compétences sous-jacentes à construire en maternelle. Il est accompagné d’une carte mentale reprenant les principales notions développées et d’un tableau présentant une progression des apprentissages au fil des âges.

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La construction du nombre résulte à la fois d’une maturation cognitive et d’un apprentissage basé sur les différentes composantes de cette notion complexe et abstraite.

Nombre : numéro et quantité

Les chiffres sont des signes servant à écrire des nombres. Ils sont omniprésents dans le quotidien, et ce dès le plus jeune âge. Ils sont culturels et prennent des sens différents selon les situations (mesure, code, numéro, quantité, position…).

Cette familiarité ne facilite pourtant pas la compréhension des nombres.

D’une part, il s’agit de distinguer l’aspect « cardinal » du nombre de son aspect « ordinal » :
– un nombre qui permet de se représenter une quantité (un nombre de … qui répond à la question combien de…)
– un numéro qui sert à repérer (une adresse, un numéro de téléphone, un bus, un joueur de foot…)

D’autre part, le nombre n’est ni une quantité, ni un numéro. C’est une idée, un concept abstrait.
C’est un outil mathématique permettant de raisonner sur de l’abstrait.

Stella Baruk propose une progression dans l’apprentissage de la numération, basée sur le langage et son explicitation. Les exercices qu’elles proposent en CP et CE1 permettent notamment de bien distinguer les « nombres-de » des numéros.

Le nombre pour se représenter une quantité

Comment construire le nombre cardinal ?

Trier, classer

Une quantité est un ensemble d’éléments distincts. C’est un tout composé d’unités.

Il s’agit donc de construire :

– la notion d’un tout : réunir des éléments qui le délimitent.
– la notion d’unité : considérer comme « uns » des éléments qui n’apparaissent pas nécessairement comme identiques d’un point de vue perceptif.

Les enfants vont d’abord réaliser des collections. Ils vont mettre ensemble ce qui se ressemble, sans critère explicite, juste parce que c’est joli, ça va bien ensemble, ça se ressemble.

Ensuite, ils vont mettre des éléments ensemble en fonction d’un critère. Ils réunissent des éléments, non plus par ressemblance, mais par équivalence. En effet, ils ont abstrait un point commun à tous les objets (la couleur, la forme, la taille…), ce qui fait que tous ces objets deviennent équivalents.
Par exemple, l’élève a regroupé toutes les perles bleues, quelque soit leur forme et leur taille. Le critère commun est la couleur bleue. Toutes les perles bleues deviennent équivalentes, indépendamment de la forme et de la taille qui varient d’une perle à l’autre. Chaque perle compte pour « un ».

C’est la notion de classe qui se construit.
Elle est nécessaire dans la construction du nombre pour trois raisons :

1) elle réunit des éléments et délimite le tout.
(toutes les perles qui sont bleues : ce qui deviendra « le nombre de… »)

2) elle assure l’équivalence entre les éléments qui deviennent des unités égales.
(une perle bleue = une perle bleue, même si l’une est ronde et l’autre en forme d’étoile)
Des éléments perceptivement différents deviennent égaux et donc comptabilisables (un, un et encore un…).

3) elle n’assigne aucune place dans l’espace et le temps à ses éléments égaux qui sont alors totalement substituables, interchangeables.
(même en les déplaçant, en comptant de gauche à droite ou de droite à gauche, une perle bleue vaut n’importe quelle autre perle bleue)

Comparer des collections inégales

L’estimation approximative et perceptive correspond à une capacité primitive. Elle est donc accessible dès le plus jeune et permet d’évaluer des quantités : il y en a beaucoup, il y en a un peu.

La comparaison de deux collections inégales va amener l’utilisation de mots qui justifient la relation entre les deux collections : il y en a plus, il y en a moins.

Au-delà des trois premiers nombres, en petite section et en début de moyenne section : on compare mais sans compter.

La nécessité d’une estimation exacte va faire apparaître le nombre:
Combien manque-t-il ? Combien de plus ? Combien de moins ?
Chercher ce qui manque construit le nombre.

Décomposer

Une quantité se compose et recompose de plusieurs manières, elle est la somme de ses parties.

Apprendre les nombres grâce à leurs décompositions, c’est permettre aux enfants de comprendre le nombre en tant que pluralité et ainsi de les aider, par la suite, dans l’apprentissage du calcul.

D’abord le nombre 2 : comprendre que deux, c’est synonyme de « un et encore un ».
Puis le nombre 3 : comprendre que trois, c’est « un, un et encore un » mais aussi « deux et encore un ».
Quand l’enfant a compris les trois premiers nombres, il peut ensuite apprendre et comprendre que quatre, c’est « trois et encore 1 » puis que cinq, c’est « quatre et encore 1 ».

Construire le nombre, c’est être capable de le décomposer : 5, c’est 3 et 2 ou 4 et 1 ou 1 et 1 et 1 et 1 et 1.

Dénombrer

Dès que les élèves connaissent les trois premiers nombres, on peut enseigner le comptage d’abord jusqu’à 4, plus tard jusqu’à 5.

Comment ? Grâce au « comptage-dénombrement » développé par Rémi Brissiaud.
L’enseignant dit « un » quand il a déplacé le 1er objet, il dit « deux » non pas au moment où il touche le 2ème objet mais quand celui-ci a été déplacé et donc quand la collection des deux objets a été formée. Il dit « trois » non pas au moment où il touche le 3è objet mais au moment où celui-ci a été déplacé, donc, quand la collection de 3 objets a été formée (pour que l’enfant associe le mot 3 à la quantité), etc.

Ainsi, se crée la correspondance entre un mot et la quantité d’objets auquel il renvoie.

Cela évite la confusion avec la notion de numéro. Lors du « comptage-dénombrement », le nombre renvoie explicitement à une quantité et non pas à une position (le troisième).

Conserver une quantité

Une quantité est un tout qui se conserve indépendamment de l’ordre et de la disposition des éléments qui la composent. Sans conservation du tout, il n’y a pas de quantité.

Avoir construit le nombre 10, c’est savoir dénombrer 10 éléments et conserver en mémoire cette quantité même lorsque les éléments sont disposés de façons différentes.

Un enfant conserve une quantité quand il peut justifier que celle-ci n’a pas changé malgré les transformations qui affectent l’apparence des éléments de la classe.

Pour bien comprendre, voici l’épreuve de Piaget :
Lorsque l’enfant a réalisé une correspondance exacte et admis l’égalité entre deux classes X et Y de jetons, on transforme devant lui une des deux classes (on espace, par exemple, les jetons alignés sur une rangée). On exécute les transformations devant l’enfant pour qu’il constate qu’il n’y a ni ajout, ni retrait.
« Et maintenant, il y a plus de X ou plus de Y ? »

L’enfant (6/7 ans) peut justifier la conservation de la quantité par trois types d’arguments :
– l’identité : «c’est le même nombre parce qu’on n’a rien enlevé, ni ajouté. »
– la réversibilité : on peut annuler l’opération en faisant l’opération inverse : « on écarte pour que la rangée soit plus longue mais on peut revenir à l’écart initial pour retrouver la longueur initiale. »
– la compensation : « si la seconde rangée est plus longue, c’est que l’espace entre les jetons est plus grand. »

S’il est capable d’effectuer ces opérations mentalement, et en déduire que cela reste la même quantité, il a acquis la réversibilité de la pensée qui lui permet de conserver une quantité.

Les nombres : un système ordonné

Les mots-nombres font référence à des unités reliées en un système.
Ces mots énoncés ou écrits sont organisés selon un ordre qui a un sens.

Trois principes organisent ce système :

La relation +1, -1

Le nombre précédent est obtenu en enlevant 1 et le nombre suivant est obtenu en ajoutant 1.

Autrement dit, 4 est avant 5 parce qu’il est composé de 1 de moins et 6 est après 5 car il est composé de 1 de plus.

Lors du « comptage-dénombrement », Brissiaud préconise de préciser : « 1 et encore 1, 2 ; et encore 1, 3 ; et encore 1, 4 ; et encore 1 5 … » pour faire apparaître le calcul sous-jacent.

Les nombres sont ordonnés de la plus petite quantité à la plus grande quantité.

Le jeu des fruits en Grande Section est un support intéressant pour entraîner cette notion.
Lire: Des jeux de société pour construire le nombre

L‘inclusion

Quand on dit deux, 2 inclut la première unité et la deuxième. De même, quand on dit trois, le 3 inclut la première perle comptée, la deuxième et la troisième.

La valeur positionnelle des chiffres

Notre système de numération est construit sur la base 10. Pour manier plus facilement de grandes quantités, on regroupe les unités par paquets de 10, qui peuvent eux-mêmes être regroupés par paquets de 100, 1000, etc.

Ce fonctionnement justifie la position des chiffres dans l’écriture des nombres.

Par exemple, le chiffre 1 change de valeur selon sa position. Il peut valoir 1, 10, 100, etc.
Dans « 15 », 1 vaut 10 unités. Dans « 101 », le premier 1 vaut 100 unités et le deuxième 1 vaut 1 unité.

Cet apprentissage commencera à partir du CP, quand les premiers nombres seront construits et que la capacité à changer de point de vue depuis possible.
Pour mieux comprendre le développement de la pensée au CP, je vous conseille de lire l’article suivant sur le blog de Soizikel: La révolution de la pensée en CP: le point de vue – la valeur

Le matériel Montessori met en avant une décomposition possible du nombre et permet, par le codage coloré et la superposition des étiquettes, de repérer la valeur de chaque chiffre.

Les outils de la pensée nécessaires à la construction du nombre

1. Se repérer dans le temps

Le temps est immuable, irréversible. On ne peut pas revivre concrètement un moment passé ou vivre un moment futur. Mais on peut le faire par la pensée.

Apprendre à se déplacer en pensée dans le temps est une compétence nécessaire à la construction du nombre.

Pourquoi ?

Être capable de conserver une quantité nécessite, comme nous l’avons vu précédemment, d’avoir acquis la réversibilité de la pensée. Autrement dit, il faut être capable d’exécuter mentalement des transformations sur les collections d’éléments présents devant soi.

Pour conserver une quantité, il est nécessaire de faire des aller-retours, mentalement, entre la collection présente et celle passée qu’on n’a plus sous les yeux, ou celle qu’elle pourrait devenir si on effectuait telle transformation dessus.

En maternelle, l’enfant devient capable de se représenter des objets ou des situations passées, mais pas les transformations sur ces objets. Pour acquérir cette capacité (à partir de 6/7 ans), il devra apprendre à relier un objet réellement présent ou évoqué à un objet passé ou futur. Il apprendra à faire des liens entre le présent et le passé ; le présent et le futur ; puis à relier les trois temps en faisant des liens de cause à effet, et non plus seulement des liens chronologiques.

2. Abstraire

Pour comprendre le concept de nombre, il faut être capable d’abstraire.

Pour Piaget, abstraire, c’est isoler une propriété commune à des objets distincts. C’est cette compétence qui permet de construire des classes. Or classer est une des composantes de la construction du nombre.

On peut différencier :
– l’abstraction empirique : isoler une ou des propriétés communes visibles appartenant aux objets, visibles par les sens,
– l’abstraction réfléchissante : isoler une propriété commune non visible, gagnée contre les données perceptives ; propriétés pensées par le sujet.

En maternelle, l’élève se situe dans une abstraction empirique. Les premiers critères de classement font être les couleurs, les formes, les tailles, les poids.

3. Évoquer

Évoquer, c’est pouvoir se représenter des objets absents.

La fonction symbolique (ou l’évocation) est la condition première de l’invention du nombre.
Elle est nécessaire :
– pour « transgresser l’irréversibilité du temps ».
– pour évoquer des propriétés visibles, ou au moins pour exclure les éléments qui ne les vérifient pas. L’évocation copie le réel.
– pour « évoquer » des propriétés qui ne sont pas inscrites sur les objets.

Une quantité est un tout partagé en unités. Or dès que l’on voit ou imagine les parties, on ne voit plus en même temps le tout. Les tout jeunes enfants apprendront progressivement à partager le tout en unités, à former un tout à partir d’unités, puis dans un second temps, à penser simultanément au tout et à ses parties, grâce à la réversibilité de la pensée. Ils pourront ainsi conserver le tout, malgré la modification des parties.

Pour approfondir ce dernier chapitre, je vous invite à lire deux articles complémentaires:
Vers l’apprentissage de l’abstraction (Partie 1)
Du concret vers l’abstrait: les compétences en jeu dès la maternelle (Partie 2)

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Sources :
– Inventer, compter et classe : De Piaget aux débats actuels, Annie Chalon-Blanc, Armand Colin 2005
– Premiers pas vers les maths : les chemins de la réussite à l’école maternelle, Rémi Brissiaud, Retz 2007
– Apprendre à calculer à l’école : les pièges à éviter en contexte francophone, Rémi Brissiaud, Retz 2013
– Comptes pour Petits et Grands, Volume 1, Stella Baruk, Magnard 2003